sábado, 6 de julio de 2013
Medidas de Dispersion
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
En
secciones anteriores se ha discutido sobre tres medidas descriptivas del
centro. Sin embargo, estas medidas no son suficientes para caracterizar la
distribución, puesto que otro aspecto que debe se tomar en cuenta es la
variabilidad de las observaciones.
Con el
propósito de medir la dispersión o variabilidad, se discutirán en este apartado
las medidas de: Amplitud (llamada también rango o recorrido), Desviación media,
Varianza, Desviación Estándar (también llamada desviación típica) y Coeficiente
de Variación.
Amplitud o recorrido
La medida de dispersión más simple recibe el nombre
de Amplitud o recorrido y es muy poco usada puesto que su
única ventaja es la sencillez con que se calcula. Es común que se use también
el nombre de rango para esta medida. La amplitud (A) de
un conjunto de datos es la diferencia entre las observaciones que tienen el
mayor y el menor valor numérico en el mismo.
Fórmula de Rango:
Dato más alto - Dato más pequeño.
( X2 - X1 )
Interpretación de Rango:
El Rango lo podremos interpretar como
la amplitud existente entre una serie de datos, es decir, mide cuán lejos está
el valor más pequeño y el valor más grande de la muestra o población.
Ejemplo de Rango:
Si tenemos una
producción de franelas y sabemos que diariamente se producen un promedio de 500
franelas, y si un día se produce un mínimo de 415 franelas y otro día se
produce un máximo de 573 franelas entonces si vemos el RANGO de producción
estará entre 158 franelas, es decir, podemos tener una producción de 158
franelas a partir del valor mínimo
Por ejemplo: Supóngase que en un hospital el pulso
de cada paciente se mide tres veces al día y que cierto día los registros de
dos pacientes muestran:
Paciente 1: 73 77 74
Paciente 2: 64 90 73
¿Cuál es la Amplitud en pulsaciones para cada
paciente?
Para calcular la amplitud de los datos necesario
identificar el valor más grande y el valor más pequeño del conjunto de datos de
cada uno de los pacientes.
Para el Paciente 1:
A = 77 - 73
= 4
Para el Paciente 2:
A = 90 - 64
= 26
La amplitud es una medida de dispersión cuya
ventaja es la facilidad con que se calcula. Tiene en cambio las siguientes
desventajas:
- En
su cálculo sólo intervienen dos elementos del conjunto.
- Al
aumentar el número de observaciones, puede esperarse que aumente la
variabilidad. Puesto que la amplitud no tiene en cuenta el tamaño del
conjunto, no es una medida adecuada para comparar la variabilidad de dos
grupos de observaciones, a menos que éstos sean del mismo tamaño.
Desviación media, desviación estándar y varianza
Para presentar la desviación estándar,
que es por mucho la medida generalmente más útil de la dispersión, obsérvese
que la dispersión de un conjunto de datos es pequeña si los valores se agrupan
en forma cerrada en torno a su media y es grande si los valores se dispersan
ampliamente en torno a su media. Por tanto, parecería razonable medir la
dispersión de un conjunto de datos en términos de las cantidades en las cuales
difieren los valores individuales de su media. Si se tiene un conjunto de
números:
que
constituyen una población con una media 
, las
diferencias entre:
se denominan las desviaciones de la media y
esto sugiere que se podría usar el promedio de estas desviaciones como medida
de dispersión en la población. A menos que las X sean
todas iguales, algunas de las desviaciones serán positivas y otras negativas,
la suma de todas las desviaciones de la media
y en consecuencia también su promedio es siempre
cero.
Como realmente se está interesado en la magnitud de
las desviaciones, y no si son positivas o negativas, se pueden ignorar
simplemente los signos y definir una medida de variación en términos de los
valores absolutos de las desviaciones de la media. En realidad, si se suman las
desviaciones de la media como si fueran todas positivas o cero y las
dividiéramos entre N, se obtendría la media estadística que se
denomina desviación media y se representa por:
Esta medida tiene una apariencia intuitiva, pero
debido al valor absoluto, lleva a encontrar dificultades teóricas en problemas
de inferencia y rara vez se usa.
Un método alternativo consiste en trabajar con los
cuadrados de las desviaciones de la media, ya que también esto eliminará el
efecto de los signos. Los cuadrados de números reales no pueden ser negativos y
pueden tomar el valor de cero.
Por consiguiente, si se promedia las desviaciones
cuadradas de la media y se toma la raíz cuadrada del resultado (para compensar
el hecho de que las desviaciones fuesen cuadradas), se obtiene la Desviación
estándar de la población.
Ésta medida de variación se representa por medio de
sigma minúscula (
) y al
expresar literalmente lo que se ha hecho aquí de manera matemática, también se
conoce como la raíz de la desviación cuadrada media. A
su cuadrado de se le llama Varianza de la población.
) y al
expresar literalmente lo que se ha hecho aquí de manera matemática, también se
conoce como la raíz de la desviación cuadrada media. A
su cuadrado de se le llama Varianza de la población.
Quizá parezca lógico utilizar la misma fórmula
con n y 
sustituidas
por N y 
, para la
desviación estándar de una muestra; pero, esto no es realmente lo que se hace.
En lugar de dividir la suma de las desviaciones entre n, se divide
entre (n-1) y se define como desviación estándar de la muestra, que
se denota con s como
sustituidas
por N y , para la
desviación estándar de una muestra; pero, esto no es realmente lo que se hace.
En lugar de dividir la suma de las desviaciones entre n, se divide
entre (n-1) y se define como desviación estándar de la muestra, que
se denota con s como
Su cuadrado s2, se llama
la Varianza de la muestra.
Al dividir entre n-1 en vez de hacerlo
entre n, tiene una buena razón. Si se dividiera entre n y
se utilizara s2 como estimación de 
es decir,
se utilizaría la varianza de una muestra para determinar la varianza de la
población de la cual provino, el resultado sería demasiado pequeño y esto se
corrige al dividir entre n-1 en lugar de hacerlo entre n.
Si el valor de n es muy grande no importa hacerlo entre n-1
sino que es práctico para definir s como se hizo.
es decir,
se utilizaría la varianza de una muestra para determinar la varianza de la
población de la cual provino, el resultado sería demasiado pequeño y esto se
corrige al dividir entre n-1 en lugar de hacerlo entre n.
Si el valor de n es muy grande no importa hacerlo entre n-1
sino que es práctico para definir s como se hizo.
Coeficiente de variación
Las medidas de dispersión anteriores son todas
medidas de variación absolutas. Una medida de dispersión relativa de los datos,
que toma en cuenta su magnitud, está dada por el coeficiente de variación.
El Coeficiente de variación (CV) es una
medida de la dispersión relativa de un conjunto de datos, que se obtiene
dividiendo la desviación estándar del conjunto entre su media aritmética y se
expresa como para una
muestra y para la
población.
para una
muestra y para la
población.
Los coeficientes de variación tienen las siguientes
características:
- Puesto
que tanto la desviación estándar como la media se miden en las unidades
originales, el CV es una medida independiente de las
unidades de medición.
- Debido
a la propiedad anterior el CV es la cantidad más adecuada
para comparar la variabilidad de dos conjuntos de datos.
- En
áreas de investigación donde se tienen datos de experimentos previos,
el CV es muy usado para evaluar la precisión de un
experimento, comparando en CV del experimento en cuestión
con los valores del mismo en experiencias anteriores.
Ejemplo: En seis sábados consecutivos un
operador de taxis recibió 9, 7, 11, 10, 13 y 7 llamadas a su sitio para su
servicio. Calcule:
- Amplitud.
- Media.
- Desviación
media.
- Desviación
estándar.
- Varianza.
- Coeficiente
de variación.
a) Para calcular la amplitud.
Valor máximo 13
Valor mínimo 7
A = 13 7 = 6
b) Para calcular la media.
c) Para calcular la desviación media
d) Para calcular la desviación estándar
Se puede utilizar la siguiente tabla:
|
|
|
9
|
-0.5
|
0.25
|
7
|
-2.5
|
6.25
|
11
|
1.5
|
2.25
|
10
|
0.5
|
0.25
|
13
|
3.5
|
12.25
|
7
|
-2.5
|
6.25
|
|
0.0
|
27.50
|
Al sustituir los valores se obtiene:
e) Para calcular la varianza:
f) Para calcular el coeficiente de
variación:
Cálculo de la varianza en una tabla de frecuencias
Para calcular la varianza de una tabla de
frecuencias se utiliza la siguiente fórmula:
Donde:
k es el
número de intervalos de clase
Xi es el valor medio de cada
clase
fi es
el valor de la frecuencia absoluta
Al retomar el ejemplo de la tabla de distribución
de frecuencias de Precipitación pluvial promedio anual en Baja California 1905
a 1994 en pulgadas.
intervalos
|
Punto medio de clase (mi)
|
Conteo
|
fi
|
fAi
|
FRi
|
FRAi
|
(07.7 , 11.7]
|
9.7
|
||||| ||||| ||||| |||
|
18
|
18
|
18/90
|
18/90
|
(11.7 , 15.7]
|
13.7
|
||||| ||||| |||
|
13
|
31
|
13/90
|
31/90
|
(15.7 , 19.7]
|
17.7
|
||||| ||||| ||||| ||||| ||||
|
24
|
55
|
24/90
|
55/90
|
(19.7 , 23.7]
|
21.7
|
||||| ||||| ||||| ||
|
17
|
72
|
17/90
|
72/90
|
(23.7 , 27.7]
|
25.7
|
||||| ||||| |||
|
13
|
85
|
13/90
|
85/90
|
(27.7 , 31.7]
|
29.7
|
0
|
85
|
0/90
|
85/90
|
|
(31.7 , 35.7]
|
33.7
|
||||
|
4
|
89
|
4/90
|
89/90
|
(35.7 , 39.7]
|
37.7
|
|
|
1
|
90
|
1/90
|
90/90
|
TOTAL
|
90
|
90
|
90/90
|
90/90
|
||
Calcular s2 y s.
mi
|
 |
fi
|
fimi
|
 |
9.7
|
94.09
|
18
|
174.6
|
1693.62
|
13.7
|
187.69
|
13
|
178.1
|
2439.97
|
17.7
|
313.29
|
24
|
424.8
|
7518.96
|
21.7
|
470.89
|
17
|
368.9
|
8005.13
|
25.7
|
660.49
|
13
|
334.1
|
8586.37
|
29.7
|
882.09
|
0
|
0
|
0
|
33.7
|
1135.69
|
4
|
134.8
|
4542.76
|
37.7
|
1421.29
|
1
|
37.7
|
1421.29
|
TOTAL
|
#####
|
90
|
1653.0
|
34208.10
|
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34208.10
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